Divergence - Divergence

z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Vektorové pole s rozbíhajícími se vektory, vektorové pole s konvergujícími vektory a vektorové pole s paralelními vektory, které se ani nerozcházejí, ani nekonvergují
Divergence různých vektorových polí. Divergence vektorů z bodu (x, y) se rovná součtu částečné derivace složky x s ohledem na x složky a částečné derivace složky y na složku y směřovat:

Ve vektorovém počtu , divergence je vektor operátor , který pracuje na vektorovém poli , produkovat skalární pole udávající množství zdroje vektorového pole je v každém bodě. Více technicky, divergence představuje objemovou hustotu vnějšího toku vektorového pole z nekonečně malého objemu kolem daného bodu.

Jako příklad zvažte vzduch, který je ohříván nebo ochlazován. Rychlost vzduchu v každém bodě definuje vektorové pole. Zatímco se vzduch v určité oblasti zahřívá, expanduje do všech směrů, a tedy rychlostní pole směřuje ven z této oblasti. Divergence rychlostního pole v této oblasti by tedy měla pozitivní hodnotu. Zatímco je vzduch ochlazován, a tak se smršťuje, má divergence rychlosti zápornou hodnotu.

Fyzikální interpretace divergence

Fyzikálně je divergence vektorového pole mírou, v jaké se tok vektorového pole chová jako zdroj v daném bodě. Jedná se o lokální měřítko jeho „odchozí“ - míry, v jaké existuje více vektorů pole opouštějících nekonečně malou oblast prostoru, než do něj vstupujících. Bod, ve kterém tok vychází, má pozitivní divergenci a je často nazýván „zdrojem“ pole. Bod, ve kterém je tok směrován dovnitř, má negativní divergenci a je často nazýván „propadem“ pole. Čím větší je tok pole malou plochou obklopující daný bod, tím větší je hodnota divergence v daném bodě. Bod, ve kterém je nulový tok skrz uzavírací povrch, má nulovou divergenci.

Divergence vektorového pole je často ilustrována na příkladu rychlostního pole kapaliny, kapaliny nebo plynu. Pohybující se plyn má v každém bodě rychlost , rychlost a směr, které mohou být reprezentovány vektorem , takže rychlost plynu tvoří vektorové pole . Pokud je plyn zahříván, bude expandovat. To způsobí čistý pohyb plynných částic ven do všech směrů. Jakýkoli uzavřený povrch v plynu uzavře plyn, který se rozpíná, takže povrch bude procházet vnějším tokem plynu. Pole rychlosti bude mít tedy všude pozitivní divergenci. Podobně, pokud je plyn ochlazen, smrští se. V jakémkoli objemu bude více prostoru pro plynné částice, takže vnější tlak kapaliny způsobí čistý tok objemu plynu dovnitř skrz jakýkoli uzavřený povrch. Proto má rychlostní pole všude negativní divergenci. Naproti tomu v plynu při konstantní teplotě a tlaku je čistý tok plynu z jakéhokoli uzavřeného povrchu nulový. Plyn se může pohybovat, ale objemová rychlost plynu proudícího na jakýkoli uzavřený povrch se musí rovnat objemové rychlosti proudící ven, takže čistý tok je nulový. Rychlost plynu má tedy nulovou divergenci všude. Pole, které má všude nulovou divergenci, se nazývá solenoidní .

Pokud je plyn zahříván pouze v jednom bodě nebo v malé oblasti nebo je zavedena malá trubice, která dodává zdroj dalšího plynu v jednom bodě, plyn se tam roztáhne a tlačí částice kapaliny kolem sebe ve všech směrech. To způsobí vnější rychlostní pole v celém plynu, soustředěné na zahřátý bod. Jakýkoli uzavřený povrch obklopující vyhřívaný bod bude mít tok plynných částic, které z něj vycházejí, takže v tomto bodě existuje pozitivní divergence. Jakýkoli uzavřený povrch, který však neuzavírá bod, bude mít uvnitř konstantní hustotu plynu, takže právě vstupuje tolik částic kapaliny, které opouštějí objem, takže čistý tok z objemu je nulový. Proto je divergence v kterémkoli jiném bodě nulová.

Definice

Divergence v bodě x je limit poměru toku povrchem S i (červené šipky) k objemu pro libovolnou sekvenci uzavřených oblastí V 1 , V 2 , V 3 ,… obklopující x, který se blíží nulovému objemu:

Divergence vektorového pole F ( x ) v bodě x 0 je definována jako mez poměru k povrchu základní části F z povrchu uzavřeného objemu V uzavírající x 0 k objemu V , jak je V smršťuje na nulu

\ oiint

kde | V | je objem V , S ( V ) je hranice V a je vnější jednotkou kolmou k tomuto povrchu. Je možné ukázat, že výše uvedený limit vždy konverguje ke stejné hodnotě pro libovolnou sekvenci objemů, které obsahují x 0 a blíží se nulovému objemu. Výsledek, div F , je skalární funkcí x .

Protože tato definice neobsahuje souřadnice, ukazuje, že divergence je v každém souřadném systému stejná . Není však často používán prakticky k výpočtu divergence; když je vektorové pole zadáno v souřadnicovém systému, jsou níže uvedené definice souřadnic mnohem jednodušší.

Vektorové pole s nulovou divergencí všude se nazývá solenoidální - v takovém případě žádný uzavřený povrch nemá žádný čistý tok přes něj.

Definice v souřadnicích

Kartézské souřadnice

V trojrozměrných kartézských souřadnicích je divergence spojitě diferencovatelného vektorového pole definována jako skalární funkce:

I když je vyjádřen v souřadnicích, výsledek je neměnný při rotacích , jak naznačuje fyzikální interpretace. To je proto, že stopa Jacobian matrice o o N rozměrné pole vektorů F v N rozměrné prostoru je invariantní každém nezvratné lineární transformace.

Společný zápis pro divergenci ∇ · F je pohodlný mnemotechnická, kde tečka označuje provozní připomínající skalárního součinu : se komponenty provozovatele (viz del ), aplikovat je na odpovídající složky F , a sečíst Výsledek. Protože použití operátoru se liší od vynásobení komponent, považuje se to za zneužití notace .

Válcové souřadnice

Pro vektor vyjádřený v místní jednotce válcové souřadnice jako

kde e a je jednotkový vektor ve směru a , je divergence

Použití místních souřadnic je zásadní pro platnost výrazu. Pokud vezmeme v úvahu x pozici vektoru a funkce r ( x ) , t Vstup ( x ) , a Z ( x ) , které přidělují odpovídající globální válcové souřadnic vektoru, obecně , a . Zejména, vezmeme-li v úvahu funkci identity F ( x ) = x , zjistíme, že:

.

Sférické souřadnice

Ve sférických souřadnicích , kde θ je úhel s osou z a φ rotace kolem osy z , a F opět zapsáno v souřadnicích místní jednotky, je divergence

Tenzorové pole

Nechť A je kontinuálně diferencovatelné tenzorové pole druhého řádu definované takto:

divergence v kartézském souřadnicovém systému je tenzorové pole prvního řádu a lze jej definovat dvěma způsoby:

a

My máme

Pokud je tenzor symetrický A ij = A ji pak . Z tohoto důvodu se v literatuře často používají dvě definice (a symboly div a ) zaměnitelně (zejména v mechanických rovnicích, kde se předpokládá tenzorová symetrie).

Výrazy ve válcových a sférických souřadnicích jsou uvedeny v článku del ve válcových a sférických souřadnicích .

Obecné souřadnice

Pomocí Einsteinovy ​​notace můžeme uvažovat o divergenci v obecných souřadnicích , které zapíšeme jako x 1 ,…, x i ,…, x n , kde n je počet dimenzí domény. Zde horní index odkazuje na číslo souřadnice nebo složky, takže x 2 odkazuje na druhou složku, a ne na množství x na druhou. Proměnná indexu i se používá k označení libovolné komponenty, například x i . Divergenci pak lze zapsat pomocí vzorce Voss - Weyl , jako:

kde je lokální koeficient objemového prvku a F i jsou složky F vzhledem k lokální nenormalizované kovarianční bázi (někdy psané jako ) . Einsteinova notace znamená součet nad i , protože se jeví jako horní i dolní index.

Objemový koeficient ρ je funkcí polohy, která závisí na souřadnicovém systému. V kartézských, válcových a sférických souřadnicích, používající stejné konvence jako dříve, máme ρ = 1 , ρ = r a ρ = r 2 sin θ . Objem lze také vyjádřit jako , kde g ab je metrický tenzor . Tyto determinant objevuje proto, že poskytuje odpovídající definici invariantní objemu, vzhledem k tomu, sada vektorů. Vzhledem k tomu, že determinant je skalární veličina, která nezávisí na indexech, lze je potlačit zápisem . Absolutní hodnota se bere za účelem zvládnutí obecného případu, kdy může být determinant záporný, například v pseudoriemanianských prostorech. Důvod pro druhou odmocninu je trochu subtilní: účinně se vyhýbá dvojímu počítání, když člověk přechází ze zakřivených na kartézské souřadnice a zpět. Objem (determinant) lze také chápat jako Jacobian transformace z kartézských na křivočaré souřadnice, které pro n = 3 dává .

Některé konvence očekávají, že všechny prvky místní báze budou normalizovány na délku jednotky, jak bylo provedeno v předchozích částech. Píšeme-li pro normalizovaný základ a pro složky F s ohledem na něj, máme to

pomocí jedné z vlastností metrického tenzoru. Tečkováním obou stran poslední rovnosti s protikladným prvkem to můžeme uzavřít . Po nahrazení se vzorec stane:

Viz § V křivočarých souřadnicích pro další diskusi.

Vlastnosti

Všechny následující vlastnosti lze odvodit z běžných pravidel diferenciace počtu . Nejdůležitější je, že divergence je lineární operátor , tj.

pro všechna vektorová pole F a G a všechna reálná čísla a a b .

Existuje produktové pravidlo následujícího typu: je-li φ funkce se skalární hodnotou a F je vektorové pole, pak

nebo v sugestivnějším zápisu

Další pravidlo produktu pro křížový produkt dvou vektorových polí F a G ve třech rozměrech zahrnuje zvlnění a zní takto:

nebo

Laplacian z skalárního pole je divergence na pole gradientem :

Divergence zvlnění libovolného vektorového pole (ve třech rozměrech) se rovná nule:

Pokud je vektorové pole F s nulovým divergence je definován na míč v R 3 , potom existuje nějaký vektorové pole G na míč s F = curl G . Pro regiony v R 3, které jsou topologicky komplikovanější než toto, může být toto tvrzení nepravdivé (viz Poincarého lemma ). Stupeň selhání o pravdivosti prohlášení, měřeno homologie v komplexu řetězce

slouží jako pěkný kvantifikace komplikovanost podkladové oblasti U . Toto jsou počátky a hlavní motivace de Rhamovy kohomologie .

Věta o rozkladu

Je možné ukázat, že jakýkoli stacionární tok v ( r ), který je dvakrát kontinuálně diferencovatelný v R 3 a zmizí dostatečně rychle pro | r | → ∞ lze jednoznačně rozložit na irrotační část E ( r ) a část bez zdroje B ( r ) . Kromě toho jsou tyto části výslovně určeny příslušnými hustotami zdrojů (viz výše) a hustotami oběhu (viz článek Curl ):

Pro irrotační část jeden má

s

Zdrojem bez část, B , mohou být podobně psáno: jeden jen vyměnit skalárního potenciálu cp ( r ) byla provedena vektorového potenciálu A ( r ), a termíny -∇Φ od + ∇ x A , a hustota zdroj div v hustotou cirkulace ∇ × v .

Tato „věta o rozkladu“ je vedlejším produktem stacionárního případu elektrodynamiky . Jedná se o speciální případ obecnějšího Helmholtzova rozkladu , který funguje také v dimenzích větších než tři.

V libovolných rozměrech

Divergenci vektorového pole lze definovat v libovolném počtu dimenzí. Li

v euklidovském souřadném systému se souřadnicemi x 1 , x 2 , ..., x n , definujte

V případě jedné dimenze se F redukuje na normální funkci a divergence se redukuje na derivaci.

Pro libovolné n je divergence lineárním operátorem a splňuje „pravidlo produktu“

pro jakoukoli skalární funkci φ .

Vztah k vnější derivaci

Jeden může vyjádřit divergence jako konkrétním případě vnější derivátu , který trvá 2-formu s 3-formě, v R 3 . Definujte aktuální dvouformát jako

Měří se množství „věcí“ proudící povrchu za jednotku času v „věci tekutina“ hustoty ρ = 1 dxdydz pohybující se místní rychlosti F . Jeho vnější derivace dj je pak dána vztahem

kde je klínový produkt .

Divergenci vektorového pole F lze tedy vyjádřit jako:

Zde je horní index jedním ze dvou hudebních izomorfismů a je hvězdný operátor Hodge . Když je divergence zapsána tímto způsobem, je operátor označován jako codifferential . Práce se současnou dvouformou a vnější derivací je obvykle jednodušší než práce s vektorovým polem a divergencí, protože na rozdíl od divergence vnější derivace dojíždí se změnou (křivočarého) souřadného systému.

V křivočarých souřadnicích

Příslušný výraz je komplikovanější v křivočarých souřadnicích . Divergence vektorového pole se přirozeně rozšiřuje na jakékoli diferencovatelné potrubí o dimenzi n, které má objemovou formu (nebo hustotu ) μ , např. Riemannovo nebo Lorentzianovo potrubí . Zobecnění konstrukce dvou forem pro vektorové pole na R 3 , na takovém potrubí vektorové pole X definuje ( n - 1) -formu j = i X μ získanou smrštěním X s μ . Divergence je pak funkce definovaná symbolem

Divergenci lze definovat pomocí Lieových derivací jako

To znamená, že divergence měří rychlost expanze jednotky objemu ( prvek objemu ), jak proudí s vektorovým polem.

Na pseudo-Riemannově varietě lze divergenci s ohledem na objem vyjádřit pomocí spojení Levi-Civita :

kde druhým výrazem je kontrakce vektorového pole s hodnotou 1-formy X a posledním výrazem je tradiční souřadnicový výraz z Ricciho kalkulu .

Ekvivalentní výraz bez použití připojení je

kde g je metrika a označuje parciální derivaci vzhledem ke souřadnici x a . Druhá odmocnina metriky (absolutní hodnota determinantu ) metriky se objeví, protože divergence musí být napsána se správným pojetím objemu . V křivočarých souřadnicích již nejsou základní vektory ortonormální; determinant v tomto případě kóduje správnou představu o objemu. Objevuje se dvakrát, tady, jednou, aby bylo možné transformovat na „plochý prostor“ (kde souřadnice jsou ve skutečnosti ortonormální), a ještě jednou, aby se také transformovalo na „plochý prostor“, takže nakonec „obyčejná“ divergence lze psát „běžným“ konceptem objemu v plochém prostoru ( tj. jednotkový objem, tj. jeden, tj. nezapisovaný). Druhá odmocnina se objeví ve jmenovateli, protože derivace se transformuje opačně ( kontravariantně ) na vektor (který je kovariantní ). Tato myšlenka dostat se do „plochého souřadnicového systému“, kde lze místní výpočty provádět konvenčním způsobem, se nazývá vielbein . Jiným způsobem, jak to vidět, je poznamenat, že odlišnost je maskovaný rozdíl . To znamená, že divergence odpovídá výrazu se k diferenciálu a na hvězdy Hodge . Hodgeova hvězda svou konstrukcí způsobuje, že se objemová forma objevuje na všech správných místech.

Divergence tenzorů

Divergenci lze také zobecnit na tenzory . V Einsteinově zápisu je divergence kontravariantního vektoru F μ dána vztahem

kde μ označuje kovariantní derivaci . V tomto obecném nastavení je správnou formulací divergence rozpoznat, že jde o kodiferenciál ; odtud plynou příslušné vlastnosti.

Ekvivalentně někteří autoři definují divergenci smíšeného tenzoru pomocí hudebního izomorfismu : pokud T je a ( p , q ) - tenzor ( p pro kontravariantní vektor a q pro kovariantní), pak definujeme divergenci T být tenzorem ( p , q - 1)

to znamená, že vezmeme stopu nad prvními dvěma kovariantními indexy kovariantní derivace. Symbol odkazuje na hudební isomorfismu .

Viz také

Poznámky

Citace

Reference

externí odkazy