Vztah energie a hybnosti - Energy–momentum relation

z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Ve fyzice , v energeticky hybnosti vztah nebo relativistická disperzní relace , je relativistická rovnice týkající celkové energie (která se také nazývá relativistické energie ) na invariantní hmotnosti (který se také nazývá klidová hmotnost) a dynamiku . Jedná se o rozšíření ekvivalence hmoty a energie pro tělesa nebo systémy s nenulovou hybností. Lze jej napsat jako následující rovnici:

 

 

 

 

( 1 )

Tato rovnice platí pro těleso nebo systém , jako je jedna nebo více částic , s celkovou energií E , neměnnou hmotností m 0 a hybností velikosti p ; konstanta c je rychlost světla . Předpokládá speciální případ relativity plochého časoprostoru . Celková energie je součet klidové energie a kinetické energie , zatímco invariantní hmotnost je hmotnost měřená v rámci středu hybnosti .

U těles nebo systémů s nulovou hybností se zjednodušuje na rovnici hmotnost-energie , kde se celková energie v tomto případě rovná klidové energii (také psané jako E 0 ).

Dirac moře model, který byl použit k předpovědět existenci antihmoty , úzce souvisí se vztahem energie hybnosti.

Připojení k E = mc 2

Einsteinův trojúhelník

Vztah energie a hybnosti je v souladu se známým vztahem hmoty a energie v obou jeho interpretacích: E = mc 2 vztahuje celkovou energii E na (celkovou) relativistickou hmotnost m (alternativně označenou m rel nebo m tot ), zatímco E 0 = m 0 c 2 souvisí klidová energie E 0 s (invariantní) klidovou hmotností m 0 .

Na rozdíl od kterékoli z těchto rovnic vztahuje rovnice energie-hybnost ( 1 ) celkovou energii k klidové hmotnosti m 0 . Všechny tři rovnice platí současně.

Speciální případy

  1. Pokud je tělesem nehmotná částice ( m 0 = 0 ), pak ( 1 ) se redukuje na E = pc . U fotonů je to vztah, který byl objeven v klasickém elektromagnetismu 19. století , mezi radiační hybností (způsobující radiační tlak ) a radiační energií .
  2. Pokud je rychlost těla v mnohem menší než c , pak ( 1 ) poklesne na E = 1/2m 0 v 2 + m 0 c 2 ; to znamená, že celková energie těla je jednoduše jeho klasická kinetická energie (1/2m 0 v 2 ) plus jeho klidová energie.
  3. Pokud je těleso v klidu ( v = 0 ), tj. Ve svém středu středu hybnosti ( p = 0 ), máme E = E 0 a m = m 0 ; tedy vztah energie a hybnosti a obě formy vztahu hmoty a energie (uvedené výše) se stávají stejnými.

Pro obecnou relativitu platí obecnější forma vztahu ( 1 ) .

Invariantní hmotnost (nebo zbytek hmoty) je neměnná pro všechny referenčních rámců (odtud název), a to nejen v inerciálních rámů v plochém prostoročase, ale také zrychlené rámy projíždějící zakřiveném spacetime (viz níže). Celková energie částice E a její relativistická hybnost p jsou však závislé na rámu; relativní pohyb mezi dvěma snímky způsobí, že pozorovatelé v těchto rámcích změří různé hodnoty energie a hybnosti částice; jeden snímek měří E a p , zatímco druhý snímek měří E a p , kde E E a p ′ ≠ p , pokud nedochází k relativnímu pohybu mezi pozorovateli, přičemž v takovém případě každý pozorovatel měří stejnou energii a hybnost. I když stále máme, v plochém časoprostoru:

Veličiny E , p , E ' , p ' jsou všechny spojeny Lorentzovou transformací . Vztah umožňuje člověku obejít Lorentzovy transformace při určování pouze velikostí energie a hybnosti tím, že srovnává vztahy v různých rámcích. Znovu v plochém časoprostoru to znamená;

Protože m 0 se nemění od rámu k rámu, používá se vztah energie a hybnosti ve výpočtech relativistické mechaniky a fyziky částic , protože energie a hybnost jsou dány v klidovém rámci částice (tj. E a p jako pozorovatel pohybující se s částicí by se dospělo k závěru, že bude) a měřeno v laboratorním rámci (tj. E a p, jak je stanoveno fyzikálními částicemi v laboratoři, a nepohybující se s částicemi).

V relativistické kvantové mechanice je základem pro konstrukci relativistických vlnových rovnic , protože pokud je relativistická vlnová rovnice popisující částice v souladu s touto rovnicí - je v souladu s relativistickou mechanikou a je Lorentzova invariantní . V relativistické teorii kvantového pole je použitelná pro všechny částice a pole.

Počátky a odvození rovnice

Vztah energie a hybnosti poprvé vytvořil Paul Dirac v roce 1928 ve formě , kde V je množství potenciální energie.

Rovnici lze odvodit mnoha způsoby, dva z nejjednodušších zahrnují:

  1. Z relativistické dynamiky masivní částice,
  2. Vyhodnocením normy čtyř hybnosti systému. Tato metoda platí pro masivní i nehmotné částice a lze ji s relativně malým úsilím rozšířit na vícečásticové systémy (viz § Mnohočásticové systémy níže).

Heuristický přístup k masivním částicím

Pro masivní objekt pohybující se třemi rychlostmi u = ( u x , u y , u z ) s velikostí | u | = u v rámci laboratoře :

je celková energie pohybujícího se objektu v laboratorním rámu,

je trojrozměrná relativistická hybnost objektu v laboratorním rámu s velikostí | p | = str . Relativistická energie E a hybnost p zahrnují Lorentzův faktor definovaný:

Někteří autoři používají relativistickou hmotnost definovanou:

i když klidová hmotnost m 0 má zásadnější význam a bude v tomto článku použita především nad relativistickou hmotností m .

Srovnání 3-hybnosti dává:

poté řešení pro u 2 a dosazením do Lorentzova faktoru získá člověk alternativní formu, pokud jde o 3-hybnost a hmotnost, spíše než 3-rychlost:

Vložením této formy Lorentzova faktoru do energetické rovnice získáme:

následuje další přeskupení, které se získá ( 1 ). Eliminace Lorentzova faktoru také eliminuje implicitní rychlostní závislost částice v ( 1 ), stejně jako jakékoli závěry o „relativistické hmotnosti“ masivní částice. Tento přístup není obecný, protože nehmotné částice nejsou brány v úvahu. Naivní nastavení m 0 = 0 by znamenalo, že E = 0 a p = 0 a nelze odvodit žádný vztah energie a hybnosti, což není správné.

Norma čtyř hybnosti

Energie a hybnost objektu měřená ve dvou setrvačných rámcích v prostoru energie - hybnost - žlutý rámeček měří E a p, zatímco modrý rámeček měří E ' a p' . Zelená šipka je čtyř hybnost P objektu o délce úměrné jeho klidové hmotnosti m 0 . Zelený rámeček je rámečkem hybnosti objektu s energií rovnající se zbytkové energii. Hyperboly ukazují, že Lorentzova transformace z jednoho snímku do druhého je hyperbolická rotace a ϕ a ϕ + η jsou rychlosti modrého a zeleného rámečku.

Speciální relativita

V Minkowského prostoru jsou energie (dělená c ) a hybnost dvě složky Minkowského čtyřvektoru , jmenovitě čtyř hybnost ;

(jedná se o kontrariantní komponenty).

Minkowského vnitřní produkt ⟨,⟩ tohoto vektoru se samo o sobě dává mocninu normy tohoto vektoru je úměrná druhé mocnině klidová hmotnost m těla:

Lorentz neměnný množství, a tudíž nezávisle na úhlu pohledu . Použitím Minkowského metriky η s metrickým podpisem (- + + +) je vnitřní produkt

a

tak

nebo v přírodních jednotkách, kde C = 1,

.

Obecná relativita

V obecné relativitě , 4-hybnost je čtyři-vektor definovaný v místním rámu souřadnic, i když podle definice vnitřní produkt je podobný tomu speciální relativity,

ve kterém je Minkowského metrika η nahrazena metrickým tenzorovým polem g :

vyřešen z Einsteinových polních rovnic . Pak:

Provedení součtů nad indexy, po nichž následuje sběr termínů podobných časovým, časoprostorovým a prostorových, dává:

kde faktor 2 vzniká, protože metrika je symetrický tenzor , a používá se konvence latinských indexů i , j, které berou vesmírné hodnoty 1, 2, 3. Protože každá složka metriky má obecně závislost na prostoru a čase; toto je podstatně komplikovanější než vzorec citovaný na začátku, další informace viz metrický tenzor (obecná relativita) .

Jednotky energie, hmoty a hybnosti

V přírodních jednotkách, kde c = 1 , se rovnice energie-hybnost redukuje na

Ve fyzice částic je energie typicky dána v jednotkách elektronvoltů (eV), hybnost v jednotkách eV · c −1 a hmotnost v jednotkách eV · c −2 . V elektromagnetismu a kvůli relativistické invarianti je užitečné mít elektrické pole E a magnetické pole B ve stejné jednotce ( Gauss ) pomocí systému cgs (Gaussian) jednotek , kde se energie udává v jednotkách erg , hmotnost v gramech (g) a hybnost v g · cm · s -1 .

Energie může být také teoreticky vyjádřena v jednotkách gramů, i když v praxi vyžaduje velké množství energie, aby byla ekvivalentní hmotám v tomto rozsahu. Například první atomová bomba uvolnila asi 1 gram tepla a největší termonukleární bomby generovaly kilogram nebo více tepla. Energie termonukleárních bomb se obvykle uvádějí v desítkách kiloton a megaton, což odpovídá energii uvolněné explozí tohoto množství trinitrotoluenu (TNT).

Speciální případy

Rám středu hybnosti (jedna částice)

Pro tělo v jeho klidovém rámci je hybnost nula, takže rovnice se zjednodušuje na

kde m 0 je klidová hmotnost těla.

Bezhmotné částice

Pokud je objekt nehmotný, jako je tomu v případě fotonu , pak se rovnice redukuje na

Toto je užitečné zjednodušení. Lze jej přepsat jinými způsoby pomocí de Broglieho vztahů :

pokud jsou uvedeny vlnové délky λ nebo vlnové číslo k .

Zásada korespondence

Přepis relace pro masivní částice jako:

a rozšiřování do výkonových řad pomocí binomické věty (nebo Taylorovy řady ):

v limitu, že uc , máme γ ( u ) ≈ 1, takže hybnost má klasický tvar pm 0 u , pak do prvního řádu v (p/m 0 c)2
(tj. zachovat termín (p/m 0 c)2 n
pro n = 1 a zanedbáme všechny členy pro n ≥ 2 ) máme

nebo

kde druhý člen je klasická kinetická energie a první je zbytková hmotnost částice. Tato aproximace není platná pro nehmotné částice, protože expanze vyžadovala dělení hybnosti hmotou. Mimochodem, v klasické mechanice nejsou žádné nehmotné částice.

Systémy mnoha částic

Přidání čtyř momentů

V případě mnoha částic s relativistickým momentem p n a energií E n , kde n = 1, 2, ... (až do celkového počtu částic) jednoduše označí částice, měřeno v konkrétním rámci, čtyř- momentu v tomto rámci lze přidat;

a pak vezměte normu; získat vztah pro mnoho částicový systém:

kde M 0 je neměnná hmotnost celého systému a nerovná se součtu zbytkových hmotností částic, pokud nejsou všechny částice v klidu ( další podrobnosti viz hmotnost ve speciální relativitě ). Nahrazení a přeskupení dává zobecnění ( 1 );

 

 

 

 

( 2 )

Energie a hybnost v rovnici jsou všechny závislé na snímku, zatímco M 0 je na snímku nezávislý.

Rámeček středu hybnosti

V rámci středu hybnosti (rámec COM) máme podle definice:

s implikací z ( 2 ), že invariantní hmotnost je také centrem hybnosti (COM) hmota – energie, kromě faktoru c 2 :

a to platí pro všechny snímky, protože M 0 je nezávislá na snímku. Energie E COM n jsou energie v rámci COM, nikoli v laboratorním rámci.

Odpočinkové hmoty a neměnná hmota

Energie nebo hybnost částic měřená v nějakém rámci lze eliminovat pomocí vztahu energetické hybnosti pro každou částici:

umožňující vyjádření M 0 ve smyslu energií a klidových hmot nebo momentů a klidových hmot. V konkrétním rámci mohou být čtverce součtů přepsány jako součet čtverců (a produktů):

dosadíme-li součty, můžeme uvést jejich klidové hmotnosti m n v ( 2 ):

Energie lze eliminovat:

podobně lze hybnost eliminovat:

kde θ nk je úhel mezi vektory hybnosti p n a p k .

Přeskupení:

Vzhledem k tomu, že invariantní hmota systému a ostatní hmoty každé částice jsou nezávislé na rámu, je pravá strana také invariantní (i když jsou energie a hybnost měřeny v konkrétním rámci).

Hmotové vlny

Využití de Broglieho vztahů pro energii a hybnost pro vlny hmoty ,

kde ω je úhlová frekvence a k je vlnový vektor s velikostí | k | = k , rovnající se číslu vlny , lze vztah energie a hybnosti vyjádřit pomocí vlnových veličin:

a uklizení dělením ( ħc ) 2 v průběhu:

 

 

 

 

( 3 )

To lze také odvodit z velikosti čtyřvlnného vektoru

podobným způsobem jako výše uvedená čtyři hybnost.

Jelikož se redukovaná Planckova konstanta ħ a rychlost světla c objevují a přeplňují tuto rovnici, jsou zde zvláště užitečné přírodní jednotky . Normalizujeme je tak, že ħ = c = 1 , máme:

Tachyon a exotická hmota

Rychlost bradyonu s relativistickým vztahem energie a hybnosti

nikdy nemůže překročit c . Naopak, pro tachyon, jehož rovnice energie - hybnost je , je vždy větší než c

Hypotetická exotická hmota má naopak zápornou hmotnost a rovnice energie-hybnost je

Viz také

Reference