Potenciální energie - Potential energy

z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Potenciální energie
Středověká lukostřelba reenactment.jpg
V případě luku a šípu , když lukostřelec pracuje na luku a táhne strunu zpět, část chemické energie těla lukostřelce se přemění na pružnou potenciální energii v ohnuté končetině luku. Když se struna uvolní, síla mezi strunou a šipkou na šipku funguje. Potenciální energie v končetinách luku se při letu transformuje na kinetickou energii šípu.
Společné symboly
PE , U nebo V
Jednotka SI joule (J)
Odvození od
jiných veličin
U = mgh ( gravitační )

U = 12kx 2 ( elastické )
U = 12CV 2 ( elektrické )
U = - mB ( magnetické )

U =

Ve fyzice, potenciální energie je energie držení předmětu, protože jeho poloha vzhledem k jiným předmětům, zdůrazňuje, že v sobě, jeho elektrický náboj, nebo jiných faktorů.

Běžné typy potenciální energie zahrnují gravitační potenciální energii objektu, který závisí na jeho hmotnosti a jeho vzdálenost od těžiště jiného objektu, je elastická potenciální energie prodloužené pružiny, a elektrický potenciál energie po dosažení elektrického náboje v elektrické pole . Jednotkou energie v Mezinárodním systému jednotek (SI) je joule , který má symbol J.

Termín potenciální energie zavedl skotský inženýr a fyzik z 19. století William Rankine , i když má vazby na koncept potenciálu řeckého filozofa Aristotela . Potenciální energie je spojena se silami, které působí na tělo takovým způsobem, že celková práce vykonaná těmito silami na tělo závisí pouze na počáteční a konečné poloze těla v prostoru. Tyto síly, které se nazývají konzervativní síly , mohou být v každém bodě vesmíru reprezentovány vektory vyjádřenými jako přechody určité skalární funkce zvané potenciál .

Protože práce potenciálních sil působících na těleso, které se pohybuje z počáteční do koncové polohy, je určena pouze těmito dvěma polohami a nezávisí na trajektorii tělesa, existuje funkce známá jako potenciál, kterou lze vyhodnotit na dvě polohy k určení této práce.

Přehled

Existují různé typy potenciální energie, každá spojená s určitým typem síly. Například práce pružné síly se nazývá elastická potenciální energie; práce gravitační síly se nazývá gravitační potenciální energie; práce Coulombovy síly se nazývá elektrická potenciální energie ; práce silné jaderné síly nebo slabé jaderné síly působící na baryonový náboj se nazývá jaderná potenciální energie; práce mezimolekulárních sil se nazývá mezimolekulární potenciální energie. Chemická potenciální energie, jako je energie uložená ve fosilních palivech , je dílem Coulombovy síly během přeskupení konfigurací elektronů a jader v atomech a molekulách. Tepelná energie má obvykle dvě složky: kinetickou energii náhodných pohybů částic a potenciální energii jejich konfigurace.

Síly odvozitelné od potenciálu se také nazývají konzervativní síly . Práce konzervativní síly je

kde je změna potenciální energie spojené se silou. Záporné znaménko poskytuje konvenci, že práce vykonaná proti silovému poli zvyšuje potenciální energii, zatímco práce prováděná silovým polem snižuje potenciální energii. Běžné notace pro potenciální energii jsou
PE , U , V a E p .

Potenciální energie je energie na základě polohy objektu vzhledem k ostatním objektům. Potenciální energie je často spojena s obnovením sil , jako je pružina nebo gravitační síla . Činnost napínání pružiny nebo zvedání hmoty se provádí vnější silou, která působí proti silovému poli potenciálu. Tato práce je uložena v silovém poli, o kterém se říká, že je uložen jako potenciální energie. Pokud je vnější síla odstraněna, silové pole působí na tělo, aby provedlo práci, protože pohybuje tělem zpět do výchozí polohy, čímž se zmenší natažení pružiny nebo způsobí pád těla.

Vezměme si míč, jehož hmotnost je ma výška je h . Zrychlení g volného pádu je přibližně konstantní, takže hmotnostní síla koule mg je konstantní. Produkt síly a posunutí dává vykonanou práci, která se rovná gravitační potenciální energii

Formálnější definice je, že potenciální energie je energetický rozdíl mezi energií objektu v dané poloze a jeho energií v referenční poloze.

Práce a potenciální energie

Potenciální energie je úzce spojena se silami . Pokud práce vykonaná silou na těleso, které se pohybuje z A do B , nezávisí na dráze mezi těmito body (pokud je práce prováděna konzervativní silou), pak práci této síly měřené od A přiřadí skalární hodnotu do každého druhého bodu ve vesmíru a definuje pole skalárního potenciálu . V tomto případě lze sílu definovat jako zápor vektorového gradientu potenciálního pole.

Pokud je práce pro aplikovanou sílu nezávislá na dráze, pak se práce vykonaná silou vyhodnotí na začátku a na konci trajektorie bodu aplikace. To znamená, že existuje funkce U ( x ), nazývaná „potenciál“, kterou lze vyhodnotit ve dvou bodech x A a x B a získat práci na jakékoli trajektorii mezi těmito dvěma body. Je tradicí definovat tuto funkci se záporným znaménkem tak, aby pozitivní práce byla redukcí potenciálu

kde C je trajektorie převzatá z A do B. Protože vykonaná práce je nezávislá na zvolené dráze, pak tento výraz platí pro jakoukoli trajektorii C z A do B.

Funkce U ( x ) se nazývá potenciální energie spojená s aplikovanou silou. Příklady sil, které mají potenciální energie, jsou gravitační a pružinové síly.

Odvozitelné od potenciálu

V této části je podrobněji představen vztah mezi prací a potenciální energií. Křivkový integrál , který definuje pracovat podél křivky C má zvláštní tvar, pokud je síla F se týká skalární pole cp ( x ) tak, že

V tomto případě je práce podél křivky dána vztahem
které lze vyhodnotit pomocí věty o
přechodu k získání
To ukazuje, že když jsou síly odvozitelné od skalárního pole, práce těchto sil podél křivky C se vypočítá vyhodnocením skalárního pole v počátečním bodě A a v koncovém bodě B křivky. To znamená, že pracovní integrál nezávisí na cestě mezi A a B a říká se, že je nezávislý na cestě.

Potenciální energie U = −Φ ( x ) je tradičně definována jako zápor tohoto skalárního pole, takže práce silovým polem snižuje potenciální energii, tj.

V tomto případě aplikace operátoru del na pracovní funkci přinese,

a síla F se říká, že je „odvozitelná z potenciálu“. To také nutně znamená, že F musí být konzervativní vektorové pole . Potenciál U definuje sílu F v každém bodě x v prostoru, takže množina sil se nazývá silové pole .

Výpočet potenciální energie

Vzhledem k silovému poli F ( x ) lze k nalezení skalární funkce spojené s potenciální energií použít vyhodnocení pracovního integrálu pomocí věty o gradientu . To se provádí zavedením parametrizované křivky γ ( t ) = r ( t ) z γ ( a ) = A do γ ( b ) = B a výpočtem,

Pro silové pole F nechť v = d r / dt , pak se získá věta o gradientu ,

Síla aplikovaná na tělo silovým polem se získává z gradientu práce nebo potenciálu ve směru rychlosti v bodu aplikace, tj.

Příklady prací, které lze vypočítat z potenciálních funkcí, jsou gravitace a síly pružiny.

Potenciální energie pro gravitaci blízko Země

Trebuchet využívá gravitační potenciální energii protizávaží hodit projektily přes dvě stě metrů

Pro malé změny výšky lze gravitační potenciální energii vypočítat pomocí

kde m je hmotnost v kg, g je lokální gravitační pole (9,8 metrů za sekundu na druhou na Zemi), h je výška nad referenční úrovní v metrech a U je energie v joulech.

V klasické fyzice gravitace vyvíjí konstantní sílu dolů F = (0, 0, F z ) na těžiště těla pohybujícího se v blízkosti povrchu Země. Práce gravitace na tělese pohybujícím se po trajektorii r ( t ) = ( x ( t ), y ( t ), z ( t )) , jako je dráha horské dráhy, se vypočítá pomocí její rychlosti, v = ( v x , v y , v z ) , získat

kde integrál vertikální složky rychlosti je vertikální vzdálenost. Tíhová práce závisí pouze na svislém pohybu křivky r ( t ) .

Potenciální energie pro lineární pružinu

Pružiny se používají k ukládání elastické potenciální energie
Lukostřelba je jednou z nejstarších aplikací lidské pružné potenciální energie

Vodorovná pružina vyvíjí sílu F = (- kx , 0, 0), která je úměrná její deformaci v axiálním nebo ve směru x . Práce této pružiny na tělese pohybujícím se podél prostorové křivky s ( t ) = ( x ( t ), y ( t ), z ( t )) , se vypočítá pomocí její rychlosti, v = ( v x , v y , v z ) , získat

Pro větší pohodlí, za kontakt s pružinou dochází při t = 0 , pak integrál součinu vzdálenosti x a x -velocity, xv x je x 2 /2.

Funkce

se nazývá potenciální energie lineární pružiny.

Elastická potenciální energie je potenciální energie elastického předmětu (například luku nebo katapultu), který se deformuje tahem nebo tlakem (nebo je formálně zdůrazněn ). Vzniká jako důsledek síly, která se pokouší obnovit objekt do původního tvaru, kterým je nejčastěji elektromagnetická síla mezi atomy a molekulami, které objekt tvoří. Pokud se úsek uvolní, energie se přemění na energii kinetickou .

Potenciální energie pro gravitační síly mezi dvěma tělesy

Funkce gravitačního potenciálu, známá také jako energie gravitačního potenciálu , je:

Negativní znaménko se řídí konvencí, že práce se získává ztrátou potenciální energie.

Derivace

Gravitační síla mezi dvěma tělesy hmotnosti M a m oddělenými vzdáleností r je dána Newtonovým zákonem

kde je
vektor délky 1, směřující od M do m a G je gravitační konstanta .

Nechte hmotu m pohybovat se rychlostí v, pak je práce gravitace na této hmotě při jejím pohybu z polohy r ( t 1 ) do r ( t 2 ) dána vztahem

Poloha a rychlost hmoty m jsou dány vztahem
kde e r a e t jsou radiální a tangenciální jednotkové vektory směrované vzhledem k vektoru od M do m . Tímto způsobem zjednodušíte vzorec gravitační práce na,

Tento výpočet využívá skutečnosti, že

Potenciální energie pro elektrostatické síly mezi dvěma tělesy

Elektrostatická síla vyvíjená nábojem Q na jiný náboj q oddělená vzdáleností r je dána Coulombovým zákonem

kde je vektor délky 1 ukazující z Q na q a ε 0 je vakuová permitivita . To lze také zapsat pomocí Coulombovy konstanty k e = 1/4 πε 0 .

Práce W potřebná k pohybu q z A do libovolného bodu B v poli elektrostatické síly je dána funkcí potenciálu

Referenční úroveň

Potenciální energie je funkcí stavu, ve kterém se systém nachází, a je definována vzhledem k energii pro konkrétní stav. Tento referenční stav není vždy skutečný stav; může to být také limit, jako například u vzdáleností mezi všemi těly směřujícími k nekonečnu, za předpokladu, že energie podílející se na tendenci k tomuto limitu je konečná, jako například v případě sil s inverzním čtvercem . Lze použít jakýkoli libovolný referenční stav; proto jej lze zvolit na základě pohodlí.

Potenciální energie systému obvykle závisí pouze na relativních polohách jeho komponent, takže referenční stav lze také vyjádřit pomocí relativních poloh.

Gravitační potenciální energie

Gravitační energie je potenciální energie spojená s gravitační silou , protože je třeba pracovat na zvedání předmětů proti zemské gravitaci. Potenciální energie způsobená vyvýšenými polohami se nazývá gravitační potenciální energie a je doložena vodou ve zvýšené nádrži nebo udržována za přehradou. Pokud předmět spadne z jednoho bodu do druhého v gravitačním poli, gravitační síla na něm udělá pozitivní práci a gravitační potenciální energie se sníží o stejné množství.

Gravitační síla udržuje planety na oběžné dráze kolem Slunce

Zvažte knihu položenou na stole. Když je kniha zvednuta z podlahy na stůl, působí nějaká vnější síla proti gravitační síle. Pokud kniha spadne zpět na podlahu, „padající“ energie, kterou kniha přijímá, je poskytována gravitační silou. Pokud tedy kniha spadne ze stolu, tato potenciální energie jde ke zrychlení hmoty knihy a je přeměněna na kinetickou energii . Když kniha dopadne na podlahu, tato kinetická energie se při nárazu přemění na teplo, deformaci a zvuk.

Faktory, které ovlivňují gravitační potenciální energii objektu, jsou jeho výška ve vztahu k určitému referenčnímu bodu, jeho hmotnost a síla gravitačního pole, ve kterém se nachází. Kniha ležící na stole má tedy méně gravitační potenciální energie než stejná kniha o horní část vyšší skříně a méně gravitační potenciální energie než těžší kniha ležící na stejném stole. Objekt v určité výšce nad povrchem Měsíce má menší gravitační potenciální energii než ve stejné výšce nad povrchem Země, protože gravitace Měsíce je slabší. „Výšku“ v obecném slova smyslu nelze použít pro výpočty energie gravitačního potenciálu, pokud se gravitace nepředpokládá jako konstanta. Následující části poskytují další podrobnosti.

Místní aproximace

Síla gravitačního pole se liší podle polohy. Když je však změna vzdálenosti malá ve vztahu ke vzdálenostem od středu zdroje gravitačního pole, je tato změna intenzity pole zanedbatelná a můžeme předpokládat, že gravitační síla na konkrétní objekt je konstantní. Například v blízkosti povrchu Země předpokládáme, že gravitační zrychlení je konstantní g = 9,8 m / s 2 („ standardní gravitace “). V tomto případě lze odvodit jednoduchý výraz pro gravitační potenciální energii pomocí pracovní rovnice W = Fd a rovnice

Množství gravitační potenciální energie držené vyvýšeným objektem se rovná práci provedené proti gravitaci při jeho zvedání. Odvedená práce se rovná síle potřebné k jejímu posunutí nahoru vynásobené svislou vzdáleností, kterou se pohybuje (pamatujte W = Fd ). Síla nahoru potřebná při pohybu konstantní rychlostí se rovná hmotnosti objektu, mg , takže práce prováděná při jeho zvedání do výšky h je součin mgh . Když tedy počítáme pouze s hmotností , gravitací a nadmořskou výškou , rovnice je:

kde U je potenciální energie objektu ve vztahu k jeho bytí na povrchu Země, m je hmotnost objektu, g je gravitační zrychlení a h je nadmořská výška objektu. Pokud je m vyjádřeno v kilogramech , g v m / s 2 a h v metrech, pak U bude počítáno v joulech .

Potenciální rozdíl je tedy

Obecný vzorec

Avšak při velkých odchylkách ve vzdálenosti již aproximace, že g je konstantní, již není platná a pro určení gravitační potenciální energie musíme použít počet a obecnou matematickou definici práce. Pro výpočet potenciální energie můžeme integrovat gravitační sílu, jejíž velikost je dána Newtonovým gravitačním zákonem , s ohledem na vzdálenost r mezi těmito dvěma tělesy. Pomocí této definice, gravitační potenciální energie systému masy m 1 a M 2, ve vzdálenosti r pomocí gravitační konstanta G je

kde K je libovolná konstanta závislá na volbě základny, od které se měří potenciál. Volba konvence, že K = 0 (tj. Ve vztahu k bodu v nekonečnu) činí výpočty jednoduššími, i když za cenu, že U bude záporné; proč je to fyzicky rozumné, viz níže.

Vzhledem k tomuto vzorci pro U je celková potenciální energie systému n těles zjištěna součtem potenciální energie systému těchto dvou těles pro všechny páry dvou těles.

Součet gravitačního potenciálu

Vezmeme-li v úvahu systém těles jako kombinovaný soubor malých částic, z nichž se tělesa skládají, a aplikováním předchozího na úrovni částic získáme negativní gravitační vazebnou energii . Tato potenciální energie je silněji negativní než celková potenciální energie systému těles jako takových, protože zahrnuje také negativní gravitační vazebnou energii každého těla. Potenciální energie systému těles jako takových je záporem energie potřebné k oddělení těles od sebe do nekonečna, zatímco gravitační vazebná energie je energie potřebná k oddělení všech částic od sebe navzájem do nekonečna.

proto,

Negativní gravitační energie

Stejně jako u všech potenciálních energií platí pouze rozdíly v gravitační potenciální energetické energii pro většinu fyzikálních účelů a volba nulového bodu je libovolná. Vzhledem k tomu, že neexistuje žádné rozumné kritérium pro upřednostňování jednoho konkrétního konečného r před druhým, zdá se, že existují pouze dvě rozumné volby pro vzdálenost, při které se U stane nulou: a . Volba nekonečna se může zdát zvláštní a důsledek, že gravitační energie je vždy záporná, se může zdát neintuitivní, ale tato volba umožňuje, aby hodnoty gravitační potenciální energie byly konečné, i když negativní.

Singularity v ve vzorci pro gravitační potenciální energie znamená, že jediný další zdánlivě rozumnou alternativou výběr konvence, s k , by mělo za následek potenciální energie je pozitivní, ale nekonečně velké pro všechny hodnoty nonzero o r , a by se provádět výpočty zahrnující částky nebo rozdíly potenciálních energií nad rámec toho, co je možné u systému reálných čísel . Jelikož fyzici ve svých výpočtech odporují nekonečnostem, a r je v praxi vždy nenulové, volba v nekonečnu je zdaleka výhodnější volbou, i když se myšlenka negativní energie v gravitační studni nejprve zdá být zvláštní.

Záporná hodnota gravitační energie má také hlubší důsledky, díky nimž se zdá být rozumnější v kosmologických výpočtech, kde lze smysluplně uvažovat o celkové energii vesmíru; viz inflační teorie o tom více.

Použití

Gravitační potenciální energie má řadu praktických využití, zejména generování přečerpávací vodní energie . Například v Dinorwig ve Walesu jsou dvě jezera, jedno ve vyšší nadmořské výšce než druhé. V dobách, kdy není potřeba přebytečná elektřina (a je to poměrně levné), je voda čerpána až k jezeru nahoře, a tak přeměňuje elektrickou energii (chod čerpadla) na gravitační potenciální energii. V době špičkové poptávky po elektřině voda teče zpět dolů přes turbíny elektrického generátoru, přeměňuje potenciální energii na kinetickou energii a poté zpět na elektřinu. Proces není zcela efektivní a část původní energie z přebytečné elektřiny je ve skutečnosti ztracena třením.

Gravitační potenciální energie se také používá k napájení hodin, ve kterých mechanismus ovládají padající váhy.

Používají jej také protizávaží pro zvedání výtahu , jeřábu nebo okenního křídla .

Horské dráhy jsou zábavný způsob, jak využít potenciální energii - řetězy se používají k pohybu automobilu po svahu (vytváření potenciální gravitační energie), aby se tato energie při pádu přeměnila na kinetickou energii.

Dalším praktickým využitím je využití gravitační potenciální energie k sestupu (možná pobřeží) z kopce v dopravě, jako je sestup automobilu, nákladního automobilu, vlaku, kola, letadla nebo kapaliny v potrubí. V některých případech lze kinetickou energii získanou z potenciální energie sestupu použít k zahájení stoupání do dalšího stupně, například co se stane, když je silnice zvlněná a má časté poklesy. Komercializace akumulované energie (ve formě železničních vagónů zvednutých do vyšších nadmořských výšek), která se poté v případě potřeby převede na elektrickou energii, probíhá ve Spojených státech v systému zvaném Advanced Rail Energy Storage (ARES).

Chemická potenciální energie

Chemická potenciální energie je forma potenciální energie související se strukturním uspořádáním atomů nebo molekul. Toto uspořádání může být výsledkem chemických vazeb v molekule nebo jinak. Chemická energie chemické látky může být přeměněna na jiné formy energie chemickou reakcí . Například při spalování paliva se chemická energie přeměňuje na teplo, to samé platí pro trávení potravy metabolizované v biologickém organismu. Zelené rostliny transformují sluneční energii na chemickou energii pomocí procesu známého jako fotosyntéza a elektrická energie může být přeměněna na chemickou energii elektrochemickými reakcemi.

Podobný termín chemický potenciál se používá k označení potenciálu látky ke změně konfigurace, ať už ve formě chemické reakce, prostorového transportu, výměny částic se zásobníkem atd.

Elektrická potenciální energie

Objekt může mít potenciální energii na základě svého elektrického náboje a několika sil souvisejících s jejich přítomností. Existují dva hlavní typy tohoto druhu potenciální energie: elektrostatická potenciální energie, elektrodynamická potenciální energie (někdy také nazývaná magnetická potenciální energie).

Plazma se vytvořila uvnitř koule naplněné plynem

Elektrostatická potenciální energie

Elektrostatická potenciální energie mezi dvěma tělesy v prostoru se získává ze síly vyvíjené nábojem Q na jiný náboj q, který je dán

kde je vektor délky 1 ukazující z
Q na q a ε 0 je vakuová permitivita . To lze také napsat pomocí Coulombovy konstanty k e = 1/4 πε 0 .

Pokud lze předpokládat, že elektrický náboj objektu je v klidu, má potenciální energii díky své poloze vzhledem k ostatním nabitým objektům. Elektrostatického potenciálu energie je energie z elektricky nabité částice (v klidovém stavu) v elektrickém poli. Je definována jako práce, která musí být provedena, aby se přemístil z nekonečné vzdálenosti do jeho současného umístění, upravený pro neelektrické síly na objekt. Tato energie bude obecně nenulová, pokud je poblíž nějaký další elektricky nabitý objekt.

Práce W potřebná k pohybu q z A do libovolného bodu B v poli elektrostatické síly je dána vztahem

obvykle se uvádí v J pro Jouly. Příbuzná veličina zvaná elektrický potenciál (běžně označovaná jako V pro napětí) se rovná elektrické potenciální energii na jednotku náboje.

Magnetická potenciální energie

Energie magnetického momentu v externě vytvářeném magnetickém B-poli B má potenciální energii

Magnetizace M v poli je

kde integrál může být nad celým prostorem nebo ekvivalentně kde M je nenulová. Magnetická potenciální energie je forma energie související nejen se vzdáleností mezi magnetickými materiály, ale také s orientací nebo zarovnáním těchto materiálů v poli. Například jehla kompasu má nejnižší magnetickou potenciální energii, když je vyrovnána se severním a jižním pólem magnetického pole Země. Pokud se jehla pohybuje vnější silou, působí točivý moment na magnetický dipól jehly zemským magnetickým polem, což způsobí, že se bude pohybovat zpět do vyrovnání. Energie magnetického potenciálu jehly je nejvyšší, když je její pole ve stejném směru jako magnetické pole Země. Dva magnety budou mít potenciální energii ve vztahu k sobě navzájem a vzdálenosti mezi nimi, ale to také závisí na jejich orientaci. Pokud jsou protilehlé póly drženy od sebe, bude potenciální energie vyšší, čím dále jsou od sebe a čím nižší, tím blíže jsou. Naopak, podobné póly budou mít nejvyšší potenciální energii, když jsou tlačeny společně, a nejnižší, když se rozpadnou.

Jaderná potenciální energie

Jaderná potenciální energie je potenciální energie částic uvnitř atomového jádra . Jaderné částice jsou navzájem spojeny silnou jadernou silou . Slabé jaderné síly poskytují potenciální energii pro určité druhy radioaktivního rozpadu, jako je například rozpad beta .

Jaderné částice, jako jsou protony a neutrony, se při procesech štěpení a fúze nezničí, ale jejich sbírky mohou mít menší hmotnost, než kdyby byly jednotlivě volné, v takovém případě lze tento hmotnostní rozdíl uvolnit jako teplo a záření v jaderných reakcích (teplo a záření má chybějící hmotu, ale často uniká ze systému, kde není měřeno). Energie ze Slunce je příkladem této formy přeměny energie. Na Slunci proces fúze vodíku převádí asi 4 miliony tun sluneční hmoty za sekundu na elektromagnetickou energii , která je vyzařována do vesmíru.

Síly a potenciální energie

Potenciální energie je úzce spojena se silami . Pokud práce vykonaná silou na tělese, které se pohybuje z A do B , nezávisí na dráze mezi těmito body, pak práce této síly měřené od A přiřadí skalární hodnotu každému dalšímu bodu v prostoru a definuje skalární potenciál pole. V tomto případě lze sílu definovat jako zápor vektorového gradientu potenciálního pole.

Například gravitace je konzervativní síla . Přidružený potenciál je gravitační potenciál , často označovaný nebo , odpovídající energii na jednotku hmotnosti jako funkce polohy. Gravitační potenciální energie dvou částic o hmotnosti M a m oddělených vzdáleností r je

Gravitační potenciál ( specifická energie ) obou těles je
kde je
snížená hmotnost .

Práce vykonaná proti gravitaci přesunutím nekonečně malé hmoty z bodu A do bodu B pomocí je a práce odvedená zpět opačným způsobem je taková, že celková práce odvedená z přechodu z A do B a návratu do A je

Pokud je potenciál předefinován na A být a potenciál na B být , kde je konstanta (tj. Může být libovolné číslo, kladné nebo záporné, ale musí být stejné na A jako na B), pak práce přechod z bodu A do bodu B je
jako dříve.

Z praktického hlediska to znamená, že si můžete nastavit nulu a kdekoli chcete. Lze ji nastavit na nulu na povrchu Země , nebo může být vhodnější nastavit nulu na nekonečno (jako ve výrazech uvedených dříve v této části).

Konzervativní síla může být vyjádřena v jazyce diferenciální geometrie jako uzavřená forma . Jak Euclidean prostor je stažitelné , jeho de Rham cohomology zmizí, takže každý uzavřený tvar je také přesný tvar a může být vyjádřen jako gradient skalární pole. To dává matematické odůvodnění skutečnosti, že všechny konzervativní síly jsou gradienty potenciálního pole.

Poznámky

Reference

  • Serway, Raymond A .; Jewett, John W. (2010). Fyzika pro vědce a inženýry (8. vydání). Brooks / Cole cengage. ISBN 978-1-4390-4844-3.
  • Tipler, Paul (2004). Fyzika pro vědce a inženýry: mechanika, oscilace a vlny, termodynamika (5. vydání). WH Freemane. ISBN 0-7167-0809-4.

externí odkazy